Blog

Kłopoty z lotto…

Autor: Bartłomiej Dzik

Niedawno kilkakrotnie mogliśmy usłyszeć w mediach o imponującej wygranej, jaka czeka we włoskim lotto na szczęśliwca, który trafnie wytypuje 6 liczb. Główna wygrana ponad 60 milionów EURO z pewnością przemawia do wyobraźni. Ponieważ równocześnie wspomniano, że od ponad 40 tygodni nikt nie trafił 6-tki, ktoś mógłby pomyśleć, że Włosi to naród wyjątkowych pechowców…

Dziennikarze nie raczyli bowiem wyjaśnić, że we włoskiej grze Super Enalotto należy wytypować trafnie 6 liczb z 90. Prawdopodobieństwo, że pojedynczy zakład wygra główną nagrodę jest tam nieco mniejsze niż 1 do 600 milionów.

W popularnym u nas i wielu innych krajach lotto opartym na wyborze 6 liczb z 49 prawdopodobieństwo trafienia wynosi około 1 do 14 milionów. Znacząca różnica, nieprawdaż? By uzmysłowić jak małe są to szanse, podam następujący przykład: z tablic śmiertelności wynika iż dla przeciętnego mężczyzny w moim wieku prawdopodobieństwo zgonu (np. na skutek wypadku) w ciągu 24 godzin jest większe niż 1 do 300 tysięcy…

Jak często zdarza się sytuacja, że nikt nie trafia 6-tki w lotto? Znając prawdopodobieństwo wygranej i liczbę wykupionych zakładów można się pokusić o oszacowanie prawdopodobieństwa, że w losowaniu nastąpi kumulacja. Dla tak dużej próbki zdarzeń, jaką jest losowanie lotto, bardzo dobre przybliżenie otrzymamy za pomocą rozkładu Poissona. Np. jeśli w grze 6 z 49 obstawiono około 14 milionów zakładów (czyli tyle, ile jest kombinacji 6 z 49) to prawdopodobieństwo kumulacji wyniesie 0,368 czyli po prostu 1 przez e (podstawę logarytmu naturalnego) i ogólnie: Gdzie: frakcja F to liczba wykupionych zakładów podzielona przez liczbę możliwych kombinacji. Gdy jednak porównamy otrzymany w ten sposób wynik z danymi historycznymi, okaże się, że rzeczywista częstość występowania kumulacji jest dużo wyższa niż wynikająca z powyższego oszacowania. Gdzie w takim razie popełniłem błąd w obliczeniach?

Otóż oszacowanie za pomocą rozkładu Poissona zakłada, że populacja zachowuje się jak idealny generator liczb losowych o rozkładzie równomiernym, tzn. zakreślenie każdej z możliwych kombinacji liczb jest tak samo prawdopodobne. Tak oczywiście nie jest. Ludzie zakreślając numery lotto często wybierają liczby związane ze swoją datą urodzenia, będą kierują się graficznym rozmieszczeniem symboli na kuponie. Prowadzi to do sytuacji, gdy niektóre kombinacje zakreślane się częściej, a niektóre rzadziej – przy tej samej ogólnej liczbie zakładów prawdopodobieństwo kumulacji jest wtedy większe. Odchylenie rzeczywistego rozkładu typowanych liczb do rozkładu równomiernego jest bardzo znaczące.

Czy oprócz częstszych kumulacji ma to jeszcze jakieś ciekawe konsekwencje? Jeśli nasz zakład jest unikalny tj. taki, którego nikt inny w tym losowaniu nie zakreślił, oznacza to, że w razie trafnego wytypowania wszystkich liczb nie podzielmy się z nikim główną wygraną. Wytypowanie unikalnego zakładu jest łatwiejsze, jeśli znamy opisane wyżej specyficzne preferencje w wyborze numerów u pozostałych graczy. Gry typu lotto bazują na mechanizmie totalizatora, a więc wpłacone przez graczy pieniądze są dzielone pomiędzy wygrywających. jeśli (choćby na skutek kumulacji) w puli totalizatora jest dużo pieniędzy, taki unikalny zakład, pomimo wysokiej prowizji operatora, może mieć dodatnią wartość oczekiwaną.

W Polsce sytuacja, gdy zakład może mieć dodatnią wartość oczekiwaną pojawia się raczej rzadko, przy wielokrotnej kumulacji. W Wielkiej Brytanii, gdzie w lotto 6 z 49 obstawianych jest każdorazowo ponad 50 milionów zakładów, taka sytuacja ma miejsce praktycznie przy każdym losowaniu. Zainteresowanych odsyłam do numeru 2 serii A periodyku Journal of the Royal Statistical Society z 1997 roku, gdzie znajdą fascynujące artykuły poświęcone statystycznej analizie brytyjskiej National Lottery.

Analiza prostego przykładu z totolotka może nas wiele nauczyć. Powie nam o niekompetencji dziennikarzy, jak również o tym, że trudniej dożyć najbliższego losowania niż zgarnąć milion. Przykład z szacowaniem prawdopodobieństwa kumulacji pokazuje, że do analizy hazardu potrzebna jest zarówno matematyka, jak i znajomość ludzkiej natury. Widać również, że nie mają racji etatowi intelektualiści, którzy przy różnych okazjach powtarzają, że nieważne jest jakie liczby ktoś skreśla w lotto. Tymczasem wybór liczb ma olbrzymi wpływ na wartość oczekiwaną zakładu. Hazard wydaje się prosty, ale to tylko pozory – w rzeczywistości dzięki niemu możemy się jeszcze wiele nauczyć…

podziel się na:

Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
Share on whatsapp

ZAPISZ SIĘ NA STUDIA

Trwają zapisy na XXXV edycję studiów podyplomowych "Psychologia Biznesu dla Menedżerów"
START
10 x 2020

polecane książki:

SZUKAJ NA BLOGU: